高中數(shù)學(xué)選修2-1中說：

“一般的，在數(shù)學(xué)中，我們把用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題（proposition），其中判斷為真的語句叫做真命題（true proposition），判斷為假的語句叫做假命題（false proposition）。”

但是所有陳述句都可以判斷真假嗎？如果有不真不假的陳述句，邏輯學(xué)家們該怎么辦呢？

怎么會(huì)不真不假？

也許你會(huì)說：“啊這， ‘假‘的意思不就是不真嗎？“ 。此處，我們姑且如此理解‘假’：假如一個(gè)陳述句 $P$ 為假，那么它的否命題$\lnot P$ 就為真。

比如說，我們說「今年是2020年」是假的。因?yàn)?020年已經(jīng)過去了，「今年不是2020年」是真的，所以「今年是2020年」是假的。

但很多陳述句的真假的判斷就沒那么容易：

案例一 三毛張三

「張三是禿子」

張三可能邏輯學(xué)多了，他現(xiàn)在只有三根頭發(fā)。以前的朋友見著他都會(huì)驚訝地問：“張三啊。你怎么就頭禿了？這大學(xué)才上了兩年。“ 張三聽了，氣不打一處來。他小心地把那三根三米長的長發(fā)挑出來，展示給他的朋友，皺眉說到：“唉呀，你說啥呢。這不還有三根嗎？“

一段時(shí)間后，張三也動(dòng)搖了。他雖然覺得「張三是禿子」不對(duì)，但確實(shí)他的朋友們講的都有道理。這只剩三根頭發(fā)了，說「張三不是禿子」似乎也不對(duì)。

張三覺得，「張三不是禿子」不真也不假。

此處，之所以「張三是禿子」真假難辨，主要是因?yàn)椤d子‘的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的。張三的情況在中間的灰色地帶，所以說他禿頭不好，不禿頭也不好。

除此之外，如果陳述句包含的名字的指稱為空，此陳述句的真假也會(huì)難以判斷。比如說：

案例二 莎士比亞

「莎士比亞在1599年前完成《哈姆雷特》的寫作」

此處，問題不在于《哈姆雷特》的創(chuàng)作時(shí)間，而在于“莎士比亞”的存在與否。有些學(xué)者認(rèn)為“莎士比亞”不存在，那么《哈姆雷特》的作者就不是“莎士比亞”；遂「莎士比亞在1599年前完成《哈姆雷特》的寫作」這句話就不是對(duì)的。

但另一方面，根據(jù)一樣的原因，我們也不能說「莎士比亞在1599年后完成《哈姆雷特》的寫作」，遂「莎士比亞在1599年前完成《哈姆雷特》的寫作」似乎也不是錯(cuò)的。

「莎士比亞在1599年前完成《哈姆雷特》的寫作」就變成了不真不假的句子。

此外還有很多這樣的例子，比如說：

案例三 哈利波特

「哈利波特有七個(gè)玄孫」

這里涉及到兩個(gè)問題：1. 哈利波特是否存在。2. 作者是否有明確說「哈利波特有玄孫」或無。我們可能會(huì)忽略第一個(gè)問題；畢竟哈利波特是虛構(gòu)的，只要根據(jù)哈利波特的系列書籍，哈利波特有七個(gè)孫子，那么我們就會(huì)說「哈利波特有七個(gè)玄孫」為真。所以這里更棘手的問題是，作者并沒有交代「哈利波特有玄孫」或無，所以我們難以判斷其真假。

又比如說：

案例四 明天股市

「明天股市開盤會(huì)漲」

這里涉及到「未來發(fā)生的事是否確定」的問題。假如明天發(fā)生的事是不確定的，那么「明天股市開盤會(huì)漲」則沒有相對(duì)應(yīng)的事實(shí)，那我們也無從判斷它到底是真是假。

最后，我想提一個(gè)例子，或被用于駁斥前文從高中數(shù)學(xué)教材中引用的句子。還記得，教材中說“可以判斷真假的陳述句叫做命題”：

首先，我們有一個(gè)叫‘3N+1’的算法（大家可以試一下）：

對(duì)于一個(gè)自然數(shù)N，根據(jù)其奇偶性，我們做以下步驟：

假如N是奇數(shù)，那么讓新的N等于3倍原來的N再加一 ($N \leftarrow 3N+1$ ) 。

假如N是奇數(shù)，那么讓新的N等于原來的N的二分之一 ($N \leftarrow N/2$ ) 。

那么現(xiàn)在我們可以提出以下3N+1猜想（也稱 Collatz conjecture）：

案例五 3N+1

「對(duì)于任意的自然數(shù)N，我們都能在進(jìn)行有限次的3N+1算法后得到1。」

目前來說，沒有人能證明它的對(duì)錯(cuò)。有數(shù)學(xué)家（Jeffrey Lagarias）曾評(píng)論說：此問題無比之難，完全超越當(dāng)代數(shù)學(xué)可及之處。([it] is an extraordinarily difficult problem, completely out of reach of present day mathematics.) 那么現(xiàn)在的難題是：「對(duì)于任意的自然數(shù)N，我們都能在進(jìn)行有限次的3N+1算法后得到1。」是“可以判斷真假的陳述句”嗎？

或許我們會(huì)說：“即使現(xiàn)在沒有人可以判斷它的真假，但現(xiàn)這樣的句子，以后終有數(shù)學(xué)家可以判斷它的真假的。“ 但我們真的沒有過度自信嗎？

這里涉及到很多問題，需要另一篇文章才能解釋清楚（有興趣的讀者可以查看哥德爾不完備定理）。但我可以很肯定的說，這樣想就是過度自信了。我們不能保證所有的數(shù)學(xué)猜想都有真假。有可能3N+1猜想就是無法判斷真假的。

那么緊接著，我們會(huì)問，像3N+1猜想一樣，是否目前還無法判斷真假的數(shù)學(xué)陳述句就不是命題了？我想它們依舊值得被稱作命題。至少在內(nèi)容上，我無法區(qū)分3N+1猜想和勾股定理的區(qū)別 —— 他們都是陳述句，而且面對(duì)他們，我們都有判斷的傾向。

所以，只把“可以判斷真假的陳述句”叫做命題，會(huì)限制我們的視野，限制邏輯的應(yīng)用。如果可以，我們應(yīng)該盡可能找到與以上案例中「難以判斷真假」的陳述句對(duì)應(yīng)的命題，將他們納入邏輯學(xué)的討論中。

當(dāng)然，不少人（包括不少邏輯學(xué)家）或許會(huì)反駁說：“以上的案例都是有真假的。比如說，在案例一中，「張三是禿子」就是錯(cuò)的。沒有那么復(fù)雜，不過是我們的直覺出錯(cuò)了。“ 或許他們是對(duì)的，但在這篇文章中，我想介紹一種直面難辨真假情況的方式，看是否能啟發(fā)到大家。

我們說一個(gè)陳述句有相應(yīng)的命題，不需要它能夠判斷真假，只需要它能夠被判斷就好了。而對(duì)于不能判斷為真或假的陳述句，我們就判斷它為#。比如說，我們不判斷「哈利波特有七個(gè)玄孫」為真，也不判斷其為假，那么我們就說，「哈利波特有七個(gè)玄孫」為#。

此處，我們將“真“，“假“，“#“稱作為‘真值’。那么我們可以說，當(dāng)一個(gè)陳述句能被賦予真值時(shí)，那它就有相應(yīng)的命題。

我想現(xiàn)在大家一定疑竇叢生，比如說：“#”是什么？假如命題可以不真不假，我們又怎么進(jìn)行邏輯推理？

目前，我說薛定諤的貓的生死狀態(tài)就是#：薛定諤的貓既不是完全活著，也不是完全死了。但這到底是一種什么狀態(tài)，不同的邏輯學(xué)家似乎有不同的理解。我會(huì)把更詳細(xì)的討論留在后面。

而在接下來的文章中，我首先會(huì)回應(yīng)第二個(gè)問題，「怎么進(jìn)行邏輯推理」的問題。就像介紹只有“真”“假”兩值的經(jīng)典邏輯一樣，我會(huì)先從構(gòu)造一個(gè)像數(shù)學(xué)的形式邏輯系統(tǒng)開始，介紹我們的三值非經(jīng)典邏輯。我會(huì)盡量避免使用過多的符號(hào)，以及在細(xì)節(jié)上做過多的討論。我的目標(biāo)更多是引導(dǎo)大家跟隨著邏輯學(xué)家們，思考「不真不假怎么辦」。

p.s. 對(duì)于想要更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亍⑾到y(tǒng)地、詳細(xì)地了解三值邏輯的朋友，可以從 Theodore Sider 的 Logic for Philosophy的3.4部分看起。

作者：求其說/心

文章轉(zhuǎn)自知乎

圖片來自網(wǎng)絡(luò)

采編：關(guān)心 艾若

排版：南山

審核：永方

美工/VI：小周

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