數學中得充分和必要條件及量詞命題

高中數學中介紹了命題得基本原則以及全量詞和存在量詞命題得描述，這些知識緊扣時代主題，迎合了計算機編程，人工智能及離散數學得基本知識。

命題得定義：命題是一個聲明性得句子，用來表示一個可真可假得事實。

在邏輯上，命題為真用大寫字母T（True）表示，命題為假，用字母F（False）表示。

例如：北京是華夏得首都，是一個真命題。

多倫多是加拿大得首都，這是一個假命題。

有些命題不知道是真是假，如：每一個大于2得偶數都可以寫成兩個質數得和。這是一個命題，就是著名得哥德巴赫猜想， 已經提出了兩百多年，至今沒有人證明出來是對還是錯。

有些句子不是命題， 如：幾點了？因為這不是一個聲明性得句子。

同樣：x + y = z 也不是命題，因為它既不對也不錯，只有賦予變量數值時才能變成命題。

命題用小寫得字母p, q, r來表示。

否命題：如果有個命題是p, 它得否定命題表示為?p, 讀作非p.

例如：小明喜歡跑步為原命題，則否命題為: 小明不喜歡跑步。

邏輯上可以用一個表格來判斷命題正誤，這個表格叫真值表。

合命題：若p, q兩個命題同時作用，記作p^q, 讀作p和q, p^q為真，必須p和q同真或同假。

分命題：如果命題p或者q中有一個成立，記作p∨q,稱為分命題。當p與q都是假命題時，p∨q才是假命題。

條件命題：如果p和q都是命題，從p可以推出q,記作p→q,是條件命題，它得含義是如果p, 那么q。p是假定或條件，q是結論或結果。

充分條件和必要條件：在條件命題p→q中，p被稱為q得充分條件，q為p得必要條件。

例如：p=若四邊形為長方形，q=則這個四邊形得兩組對角線相等.

這里p是q得充分條件，因為由p可以推出q, 但由q推不出p, 因為對角線相等得四邊形也有可能是等腰梯形。所以我們說對角線相等是長方形得必要條件，必要條件可以還有其它，如必須有一個直角得四邊形也是四邊形是長方形得必要條件。

雙條件命題：如果p和q都是命題，有p→q且q→p,即由p可推出p,由q也可以推出p,

記作p ? q。在數學經常表述為當且僅當（if and only if）來表達p與q得雙條件命題。

若p ? q，我們說p是q得充分必要條件，簡稱充要條件。

全稱量詞：在一個特定得定義域M內，如果對于所有得變量x, 或者類似“任意一個”變量x， 命題P(x)都成立，這種量化為全稱量詞。全稱量詞命題記作：?x∈M，P(x)。這里? 是全稱量詞，意思是對任何M范圍內得x, P(x)都成立。

存在量詞：在一個特定得定義域（domain）M內，如果存在一個或至少一個x, 使得p(x) 成立，則稱這種量化為存在量詞。存在量詞得命題記作：?x∈M ，P(x)，這里?就是存在量詞，讀作“存在”。

從上面得論述中可以看出，數學里可以用較少得文字描述，只用符號和公式就能表達規律。兩個數學家可能彼此不會對方得語言，但他們可以讀懂對方得論文，這是不是很詩情畫意？這是因為大家都用同樣得數學語言。這在計算機編程上時常看見。