中考幾何壓軸 37 幾何與函數 拋物線 系數與圖像 系數與根 系數與函數值

這一系列，不限專題，解析系列經典幾何題，提高幾何分析解決問題能力。

題44[1]. 《系數與圖像》

二次函數y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 圖像如圖，以下4個結論：① abc＞0；② b＜a＋c；③ 4a＋2b＋c＞0；④ 2c＜3b；其中正確的是（ [A] ）。

[A]1個 [B]2個 [C]3個 [D]4個

〖一般性提點〗

[1]. 系數與圖像

開口：

a＞0，開口向上；

a＜0開口向下；

關鍵點：判別式△＝b2－4ac

x軸交點x?＜x?；判別式△＞0

y軸交點f(0)＝c；

頂點坐標(p, q)

p＝-b/2a＝(x?＋x?)/2;

q＝-△/4a

其中，x?、x?是關于對稱軸對稱的兩個點的橫坐標。特別地，若y＝0，則x?、x?是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根。

[2]. 系數與根

判別式△＝b2－4ac≥0時：

韋達定理（根與系數關系）

x?＋x?＝-b/a

x?·x?＝c/a

[3]. 系數與函數值

函數值y＝f(m)＝m2a＋m b＋c

函數值y＝f(n)＝n2a＋n b＋c

f(m)－f(n)＝(m2－n2)a＋(m－n)b

特別地f(1)－f(-1) ＝2b

------

〖題目分析〗

正規解析

結論 a＜0，b＞0，c＞0，-1＜x?＜0

2＜x?＜3：

結論①：abc＜0

結論②：f(-1)＝a－b＋c＜0

結論③：f(2)＝4a＋2b＋c＜0

結論④：-b/2a＝1代入f(-1):

2c＜3b

非正規解析

選擇符合圖像條件的某拋物線：

f(x)＝-(x+1/2)(x-3/2)，

a＝-1；b＝1；c＝3/4

用具體數值計算驗證。

一般地，可綜合兩類解析方法。

------典型題例------

題44[2]. 《系數與圖像》

如圖，二次函數y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 圖像經過點(-1,2)，且與x軸交點橫坐標分別為x?、x?，-2＜x?＜-1，0＜x?＜1，結論① 4a－2b＋c＜0；② 2a－b＜0；③b2＋8a＞4ac；④ b＜-1；正確的有（[D]）。

[A]1個 [B]2個 [C]3個 [D]4個

題44[3]. 《系數與圖像》

如圖，邊長為4的正方形OCBA的頂點A、C分別在y軸、x軸上，拋物線y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的圖像經過A、B兩點，下列說法中正確的個數是（）。① abc＞0；②4a＋b＝0；③a＞-4/5；④方程ax2＋bx＋c＝4的解為x＝0，x＝-4；⑤(4a＋2b)－(am2＋b m)＜0（m≠2）.

題44[4]. 《系數與圖像》

如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c (a≠0)與x軸交于點A(-1,0)，頂點坐標為(1,n)，與y軸的交點在(0,2)、(0,3)之間（包含端點）。下列結論：①當x＝3時，y＝0；②3a＋b＞0；③-1≤a≤-2/3；④ 8/3≤n≤4.

其中正確的是（）。

題44[5]. 《系數與圖像》

已知拋物線y＝ax2＋bx＋c (b＞a＞0)與x軸最多有一個交點，以下結論①該拋物線的對稱軸在y軸右側；②關于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0無實數根；③a－b＋c＞0；④ (a＋b＋c)/(b－a)的最小值為3；正確的是（）。

題44[6]. 《系數與圖像》

如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c (a≠0)過點(-1,0)，(0,2)，且頂點在第一象限，設M＝4a＋2b＋c，則M的取值范圍是（）。

題44[7]. 《系數與根》

關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有互異的實數根x?，x?,若x?＝2x?，則4b－3ac的最大值是（）。