如果你也是數學老師，不知道你會不會跟我有同樣的感覺：一到幾何的章節，學生就學得頭痛，老師教得也頭痛。

講知識點時，似乎每個學生都說自己懂；可是做起練習來，兩極分化就特別嚴重，會的學生三兩下搞定，不會的學生對著題目直發懵。

關于初中幾何，我寫過兩篇文章：

一篇是《初中幾何解答題學生會做不會寫過程，數學老師可以怎么教？》，解決的是如何引導學生輸出的問題；

另一篇是《初中數學幾何題總是找不到思路，數學老師不妨交給學生四個錦囊》，解決的是如何引導學生處理的問題。

輸出的前提是處理，那處理的前提是什么？是輸入。

剛好今年教九年級，我們就用第一章《特殊的平行四邊形》中的“菱形”為例，一起聊聊在初中幾何的教學中，如何有效地引導學生輸入。

1.獲取概念：菱形是怎么來的？

先來看一個普通的四邊形：

它有四條邊，把它們分成兩組，上下相對的兩邊為一組，左右相對的兩邊為一組，每一組的兩條邊都互為對邊。

下面，我們從對邊的角度，讓普通的四邊形做一次進化。

對邊有什么進化的方向呢？

從位置關系看，它們可以平行；

從數量關系看，它們可以相等。

一個四邊形有兩組對邊，如果只讓其中一組對邊平行，它會進化成什么？梯形。

如果讓兩組對邊分別平行，它又會進化成什么？平行四邊形。

另外，當兩組對邊分別平行的時候，它們同時還分別相等，也就是說，此時四邊形在對邊的數量關系上，也做了一次進化。

與普通的四邊形相比，梯形和平行四邊形具有更多的性質，所以要高級一些。那么，還有更高級的四邊形嗎？有，我們讓平行四邊形再做一次進化。

剛才的進化是從對邊的角度，現在換一個，改為從鄰邊的角度，比如AB和BC、CD和AD等，每一組鄰邊都有一個交點。

鄰邊有什么進化的方向呢？

從數量關系看，它們可以相等；

從位置關系看，它們可以垂直。

一個平行四邊形有四組鄰邊，如果讓其中一組相等，它就會進化什么？

咋一看，似乎和平行四邊形沒什么兩樣，對不對？其實它比平行四邊形要更高級，我們習慣稱它為菱形。

所以，一句話總結，一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形。

這也是課本給出的定義。

2.梳理性質：給你一個菱形，你能用它推出什么結論？

有沒有發現，解初中階段的幾何題，很多時候都是在做一件事：找條件，推結論。

如果題目告訴你有一個菱形，那你能用這個菱形推出哪些結論呢？

結論有不少，我們可以從線、角、整體和計算四個方面來梳理：

（1）線

常見的線有邊和對角線兩種。

邊分為對邊和鄰邊。其中，對邊平行且相等，這是繼承了平行四邊形的“基因”；鄰邊相等，再結合對邊相等，就是四邊相等。

對角線互相平分，這也是對平行四邊形性質的繼承。除此之外，對角線還互相垂直，且平分一組對角，這一點可以通過折疊一個菱形紙片觀察出來，也可以通過全等三角形證明得到。

（2）角

角分為對角和鄰角。其中，對角分別相等；鄰角互補，也就是相加和為180°。這兩點都是對平行四邊形性質的繼承。

（3）整體

從整體上看，菱形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。其中，對角線的交點是它的對稱中心，對角線所在的直線是它的對稱軸。

另外，因為菱形是四邊形，所以它還具有不穩定性。

（4）計算

常用的圖形計算有周長和面積。

菱形的周長等于四邊之和，又因為四邊相等，所以菱形的周長等于邊長乘以4。

是不是感覺和某個圖形的周長公式很像？對，我們小學學過的正方形，周長也是邊長乘以4。

菱形的面積等于底乘以高，這是繼承了平行四邊形的面積公式。除此之外，菱形還有一條同樣常用的面積公式，就是對角線乘積的一半，這可以通過全等三角形和三角形面積公式證明得到。

在對性質的梳理中，我們通常會特別關注線和角兩個方面。為什么？因為初中階段大多數的幾何題，本質上都是線或角的關系問題，要么是數量關系，要么是位置關系。

3.學會判定：給你一個四邊形，怎樣證明它是菱形？

一提到判定，很多同學就感覺找不到方向。其實判定和看病有點類似，都是看癥狀來下診斷。比如有人如果咳嗽流涕、鼻塞噴嚏，我們就會說他得了感冒，給他吃感冒藥；同樣，如果一個三角形出現“一角為90°”，我們就會說它是直角三角形。

當問到菱形的判定，其實我們想問的是，一個四邊形如果有什么樣的“癥狀”，就可以說它是菱形？

先拿定義下手：“一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形”。定義告訴我們，如果一個四邊形出現兩個“癥狀”，就能斷定它就是菱形：第一，它是平行四邊形；第二，它有一組鄰邊相等。

有沒有別的“癥狀”，能幫助我們下同樣的結論呢？有，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。這個方法告訴我們，如果一個四邊形具有“平行四邊形”和“對角線互相垂直”兩個癥狀，也可以說它是菱形。我們可以通過全等三角形和菱形定義證明這一點。

上述兩個方法都要求有“平行四邊形”，而且都要求有兩個“癥狀”，有沒有什么辦法，一個“癥狀”就能下結論？有，四邊相等的四邊形是菱形。這個方法告訴我們，一個四邊形只要具備“四邊相等”這個癥狀，就可以直接說它是菱形。要證明也不難，用平行四邊形的判定和菱形的定義就能做到。

學到這里，關于菱形的基礎知識，要掌握的也差不多了。

初中幾何要學的基本圖形不多，主要有平行線和相交線、三角形、四邊形和圓。每一個圖形的基礎知識，我們都可以通過上文提到的獲取概念、梳理性質和學會判定三個基本問題，幫助學生有效地輸入。

獲取概念能讓學生理解概念的由來，把新舊知識連接起來，形成一張網；梳理性質能讓學生把圖形變成一件思考的工具，需要時隨時調用；學會判定能讓學生在解決問題時，能準確認清圖形的本質。

這三個問題作為一個框架，就像船的錨，讓我們在根據學生情況調整教學時，能夠牢牢抓住重心。所謂“教無定法，貴在得法”，就是這個道理。